这张图片系统梳理了微积分中几个核心概念之间的逻辑关系，现将知识点分层解析如下：

【基础关系框架】

  1. 单变量函数层级
    ✅ 可导 ⇒ 连续 ⇒ 可积（闭区间）
    ✅ 连续 ⇒ 有界（闭区间）
    ❌ 逆命题不成立：
    • |x| 连续但不可导
    • 有界震荡函数可积不连续（如Dirichlet函数有理点取1，无理点取0）
  2. 多变量函数特性
    ✅ 可微 ⇒
    • 连续
    • 偏导数存在
      ✅ 偏导数连续 ⇒ 可微（充分条件）
      ❌ 偏导数存在 ⇏ 连续：
    • 示例：f(x,y)=(xy)/(x²+y²)在原点附近

【重点关系图谱】
可导性 ←强于→ 连续性 ←强于→ 可积性
↑　　　　　　　↑　　　　　　　↑
可微性　　　有界性　　　闭区间条件

【关键定理补充】

  1. 二阶偏导对称性（Clairaut定理）：
    若 f_xy 和 f_yx 在点P处连续，则 f_xy = f_yx
  2. 可微充分条件：
    若函数在某点所有偏导数存在，且至少一个偏导数连续 ⇒ 函数在该点可微
  3. 可积充分条件：
    闭区间上连续函数必可积
    有界且间断点集为零测度（如有限个间断点）必可积

【典型反例库】

  1. 连续不可导：Weierstrass函数（处处连续但无处可导）
  2. 可积不连续：分段函数f(x)=x²（x≠0）, f(0)=1
  3. 偏导存在不连续：f(x,y)=x²y/(x^4+y²) 在原点
  4. 可微但偏导不连续：构造特殊函数在原点可微但偏导数震荡

建议结合具体函数实例理解这些抽象关系，特别注意单变量与多变量情形的差异，掌握反例构造方法能有效加深概念理解。